流体力学

加速度分解【1】

\begin{matrix} (1) & \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \end{matrix}

这是显然的。

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} \vec{v} (\vec{r} + d \vec{r}, t) = \vec{v} (\vec{r}, t) + \vec{ω} \times d \vec{r} + S d \vec{r} \\ 其 中 S = S_{i j} {\hat{e}}_{i} {\hat{e}}_{j}, S_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}}) \end{matrix} \end{matrix}

$\vec v$ $\dd\vec v/\dd\vec r$ $\bold S$ 为形变矩阵。

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} \int_{Ω} ρ \frac{d \vec{v}}{d t} d τ = \int_{Ω} ρ \vec{F} d τ + \oint_{\partial Ω} σ d \vec{s} \\ i . e . ρ \frac{d \vec{v}}{d t} = ρ \vec{F} + \nabla \cdot σ \end{matrix} \end{matrix}

$\boldsymbol \sigma$ 为面力的应力张量。

$\boldsymbol \sigma$ $\bold S$ 的关系。只保留零阶项和一阶项，有：

\begin{matrix} (4) & σ_{i j} = a δ_{i j} + V_{i j k l} S_{k l} \end{matrix}

$ij$ $kl$ 交换对称，故

\begin{matrix} (5) & V_{i j k l} = b δ_{i j} δ_{k l} + c (δ_{i k} δ_{j l} + δ_{j k} δ_{i l}) \end{matrix}

代入得：

\begin{matrix} (6) & σ_{i j} = δ_{i j} (a + b S_{k k}) + 2 c S_{i j} \end{matrix}

$\sigma_{xy}=\mu\part v_y/\part x$ $c=\mu$ 。两边缩并得：

\begin{matrix} (7) & σ_{i i} = 3 a + (3 b + 2 μ) S_{i i} \end{matrix}

$\sigma_{ii}/3$ $a$ $3b+2\mu$ $3b+2\mu=0$ 为Stokes假设。
对于可压缩流，经实验证实，除了高温和高频声波这些极端情况外，一般情况下的气体运动，可认为Stokes假设成立，即第二黏度为零。【2】

$a=-p$ $p$ 为动水压。则

\begin{matrix} (8) & \begin{matrix} σ_{i j} = - p δ_{i j} - \frac{2}{3} μ S_{k k} δ_{i j} + 2 μ S_{i j} \\ i . e . σ = - (p + \frac{2}{3} μ \nabla \cdot \vec{v}) I + 2 μ S \end{matrix} \end{matrix}

将Stokes假设下的本构方程代入运动方程：

\begin{matrix} (9) & \begin{matrix} ρ (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}) = ρ \vec{F} + \nabla \cdot (- (p + \frac{2}{3} μ \nabla \cdot \vec{v}) I + 2 μ S) \\ \Rightarrow \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = \vec{F} - \nabla p + ν \nabla^{2} \vec{v} + \frac{1}{3} ν \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) \\ 其 中 ν = \frac{μ}{ρ} \end{matrix} \end{matrix}

即得Navier-Stokes方程。

低雷诺数、不可压缩情况下，Navier-Stokes方程转化为Stokes方程：

\begin{matrix} (10) & \begin{matrix} 0 = \vec{F} - \nabla p + ν \nabla^{2} \vec{v} \\ 0 = \nabla \cdot \vec{v} \end{matrix} \end{matrix}

利用Green函数法可得其解。方程

\begin{matrix} (11) & \begin{matrix} - \vec{F} δ (\vec{r}) = - \nabla p + ν \nabla^{2} \vec{v} \\ 0 = \nabla \cdot \vec{v} \end{matrix} \end{matrix}

的格林函数解为[3]：

\begin{matrix} (12) & \begin{matrix} p (\vec{r}) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{r}}{4 π r^{3}} \\ \vec{v} (\vec{r}) = \frac{G \vec{F}}{8 π ν} \\ G = \frac{1}{r} (I + \frac{\vec{r} \vec{r}}{r^{2}}) \end{matrix} \end{matrix}

$\bold G$ 被称为Oseen张量。

在无外力、不可压缩的情况下，连续性方程和Navier-Stokes方程写作：

\begin{matrix} (13) & \begin{matrix} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}} = 0 \\ \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + ν \frac{\partial^{2} v_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} \end{matrix} \end{matrix}

$v_i=\bar v_i+v_i'$ （平均可能是时间平均、空间平均或者系综平均），代入上述方程：

\begin{matrix} (14) & \begin{matrix} \frac{\partial ({\bar{v}}_{i} + v_{i}^{'})}{\partial x_{i}} = 0 \\ \frac{\partial ({\bar{v}}_{i} + v_{i}^{'})}{\partial t} + \frac{\partial ({\bar{v}}_{i} + v_{i}^{'}) ({\bar{v}}_{j} + v_{j}^{'})}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial (\bar{p} + p^{'})}{\partial x_{i}} + ν \frac{\partial^{2} ({\bar{v}}_{i} + v_{i}^{'})}{\partial x_{j} \partial x_{j}} \end{matrix} \end{matrix}

对上两式取平均得：

\begin{matrix} (15) & \begin{matrix} \frac{\partial {\bar{v}}_{i}}{\partial x_{i}} = 0 \\ \frac{\partial {\bar{v}}_{i}}{\partial t} + \frac{\partial ({\bar{v}}_{i} {\bar{v}}_{j} + v_{i}^{'} v_{j}^{'})}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_{i}} + ν \frac{\partial^{2} {\bar{v}}_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} \end{matrix} \end{matrix}

后者可改写为：

\begin{matrix} (16) & \frac{\partial {\bar{v}}_{i}}{\partial t} + {\bar{v}}_{j} \frac{\partial {\bar{v}}_{i}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_{i}} + ν \frac{\partial^{2} {\bar{v}}_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} - \frac{\partial v_{i}^{'} v_{j}^{'}}{\partial x_{j}} \end{matrix}

$-{\part v'_iv'_j\over \part x_j}$ $-v_i'v_j'$ 为Reynolds应力张量。