数分III 课堂笔记

一、实数的公理化定义

1、有序集

集合 $S$$S$ 上的序是一种关系，记为 $\le$$\le$，满足

• (O1) 自反性 $x\le x$$x\le x$

• (O2) 反对称性 $x\le y\mathrm{\&}y\le x\Rightarrow x=y$$x\le y~~ \&~~ y\le x \Rightarrow x=y$

• (O3) 传递性 $x\le y\mathrm{\&}y\le z\Rightarrow x\le z$$x\le y~~\&~~y\le z \Rightarrow x\le z$

• (O4) 全序性 $\mathrm{\forall }x,y\in S,x\le y\mathrm{\&}y\le x$$\forall x,y\in S,~~x\le y ~~\&~~y\le x$ 至少有一成立

称 $(S,\le )$$(S,\le)$ 为有序集。注：

• $x<y$$x<y$ 定义为 $x\le y\mathrm{\&}x\ne y$$x\le y~~\&~~x\ne y$

• $x\ge y$$x\ge y$ 定义为 $y\le x$$y\le x$

• $x>y$$x>y$ 定义为 $\mathrm{\neg }(x\le y)$$\lnot(x\le y)$

• $E\in S$$E\in S$，则 $(E,\le )$$(E,\le)$ 也是一个有序集。利用有序集，可以定义上、下界、确界。 e.g. $\begin{array}{c}\beta =infE\iff \begin{array}{}1)\mathrm{\forall }x\in E,x\ge \beta \\ 2)\mathrm{\forall }b>\beta ,\mathrm{\exists }x\in E,x<b\end{array}\end{array}$$\beta=\inf E \Lrarr \begin{array}{a} 1)~~\forall x\in E,~~ x\ge \beta~~~~~~~~~~~\\2)~~\forall b>\beta,\exists x\in E,x<b \end{array}$

2、实数公理系统

集合 $\mathbb{R}$$\newcommand{\R}{\mathbb{R}} \R$，带有加法 $+$$+$，乘法 $\times$$\times$，序关系 $\le$$\le$。当 $(\mathbb{R},+,\times ,\le )$$(\R,+,\times,\le)$ 满足下列公理时，称其为一个实数系：

1. 域公理(F)

   • (A1) 加法结合律

   • (A2) 加法交换律

   • (A3) 加法零元

   • (A4) 加法负元

   • (M1) 乘法结合律

   • (M2) 乘法交换律

   • (M3) 乘法幺元

   • (M4) 乘法逆元

   • (AM) 分配律

2. 序公理

   • (O1)(O2)(O3)(O4)

   • (OA) 加法保序性

     $\mathrm{\forall }x,y,z\in \mathbb{R},x\le y\Rightarrow x+z\le y+z$$\forall x,y,z\in\R,~x\le y\Rarr x+z\le y+z$

   • (OM) 乘法保序性

     $\mathrm{\forall }x,y\ge 0\in \mathbb{R},x\times y\ge 0$$\forall x,y\ge 0\in\R,~~x\times y\ge 0$

3. 连续性公理

   • (C1) 阿基米德性

     $\mathrm{\forall }x>0,y\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }n\in \mathbb{Z},nx>y$$\forall x>0, y\in\R,~\exists n\in \mathbb{Z},~nx>y$

     其中 $nx$$nx$ 定义为 $n$$n$ 个 $x$$x$ 相乘。

   • (C2) 完备性

     $\mathbb{R},{\mathbb{R}}^{\prime }$$\R,\R'$ 满足(F)(O)(C1)，且 $\mathbb{R}\subset {\mathbb{R}}^{\prime }\Rightarrow \mathbb{R}={\mathbb{R}}^{\prime }$$\R\sub\R'\Rarr \R=\R'$

3、实数系的构造

3.1. 戴德金分割

称满足下面条件的 $\mathbb{Q}$$\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\Q$ 的子集 $\alpha$$\alpha$ 为一个戴德金分割

• (D1) $\alpha \ne \varnothing ,\alpha \ne \mathbb{Q}$$\alpha \ne \varnothing,\alpha \ne \Q$

• (D2) $\mathrm{\forall }p\in \alpha ,\mathrm{\forall }q<p,q\in \alpha$$\forall p\in \alpha,~\forall q<p,~q\in\alpha$

• (D3) $\alpha$$\alpha$ 中无最大元

注：若 $\mathbb{Q}-\alpha$$\Q-\alpha$ 中又最小元 $p$$p$，则记 $\alpha =p^{\ast }=\{q\in \mathbb{Q}|q<p\}$$\alpha =p^*=\{q\in \Q|q<p\}$，称之为有理分割。记全体有理分割为 ${\mathbb{Q}}^{\ast }$$\Q^*$。若 $\mathbb{Q}-\alpha$$\Q-\alpha$ 中无最小元，则称其为无理分割。

3.2. 构造序关系

3.2.1 定义 $\alpha \le \beta \iff \alpha \subset \beta$$\alpha\le\beta \Lrarr \alpha \sub \beta$。

证明：O4。即证：$\alpha \le \beta$$\alpha\le\beta$ 不成立时，$\beta \le \alpha$$\beta\le\alpha$ 成立。

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\neg }(\alpha \le \beta )\\ \Rightarrow & \mathrm{\exists }p\in \alpha ,p\notin \beta \\ & \mathrm{\forall }q\in \beta ,q<p,\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}p\in \beta \\ \Rightarrow & \mathrm{\forall }q\in \beta ,q\in \alpha \end{array}$$

3.2.2 显然 $\mathbb{Q}$$\Q$ 与 ${\mathbb{Q}}^{\ast }$$\Q^*$ 有相同的序关系。

3.2.3 由于(D3)，$\mathrm{\forall }p\in \alpha ,p^{\ast }<\alpha$$\forall p\in \alpha,p^*<\alpha$

3.2.4 有理分割在 $\mathbb{R}$$\R$ 中有稠密性

（1）若 $\alpha <\beta$$\alpha<\beta$，则有 $\alpha <p^{\ast }<\beta$$\alpha <p^*<\beta$

$$\begin{array}{rl}& \alpha <\beta \Rightarrow \mathrm{\exists }{p}_1\in \beta ,p_1\notin \alpha \\ \Rightarrow & p_1^{\ast }\ge \alpha \mathrm{\&}{p}_1^{\ast }<\beta \\ \Rightarrow & \mathrm{\exists }p\in \beta ,p>p_1\\ & \alpha <p^{\ast }<\beta \end{array}$$

（2）$\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R},r>0,\mathrm{\exists }p\mathrm{s}\mathrm{t}{p}^{\ast }<\alpha <(p+r{)}^{\ast }$$\forall \alpha\in\R,~r>0,~\exist~p~~{\rm st}~~p^*<\alpha<(p+r)^*$