拓扑空间、流形概览

参考：小时百科 - 拓扑空间(1)

拓扑空间

拓扑空间

若 T 满足如下三个条件，则称 T 是某集合 X 的一个拓扑，且称 T 中的所有元素为开集：

  1. T⊆2X,  ∅∈T,  X∈T

  2. T 中元素的并集属于 T

  3. 有限个 T 中元素的交集属于 T

(X,T) 被称为一个拓扑空间。

拓扑基

若 B⊆T 且 B 满足如下条件，则称 B 是 (X,T) 的拓扑基：

  1. B 中任意元素为开集 === B⊆T

  2. 任意开集都是 B 中某些元素的并集。

例如：

X={0,1,2,3},T={∅,{1},{2},{1,2},{0,1,2,3}},B={{1},{2},{0,1,2,3}}

注意，并非 2X 的任意子集都能够成为拓扑基。例如X={0,1,2,3}，取 B={{1},{2}}，就不可能成为拓扑基，因为它不能并出 X。或取 B={{0,1,2},{1,2,3}}，也不能是拓扑基，因为{1,2}={0,1,2}∩{1,2,3} 是个开集，但不能表示称 B 中某些元素的并。

子拓扑

取 A⊂X，令 T|A={U∩A: U∈T}，则 T|A 被称为 T 的子拓扑。(A,T|A) 则被称为 (X,T) 的子拓扑空间。

证明：在如上叙述中， T|A 是 A 上的拓扑。

即证明拓扑的三条定义是成立的。第一条显然成立。第二、三条根据 T|A 与 T 元素的相互对应可得。

子基

取 S⊂2X，总能找到最小的拓扑 T=T(S) 满足 S⊆T(S)，此时 S 被称作 T(S) 的子基。显然 T 的拓扑基 B 是个子集。

从 S 构造 T(S) 的过程：取全体 有限个 S 中元素的交集 构成的集合为 U(S)。再取全体 任意个 U(S) 中的元素的并集 构成的集合为 I(U(S))。此时 I(U(S))=T(S) 。