四元数

$\hat{\square}$ $\vec \square$ $\mathbb{i}$ $\ii,\jj,\kk$ 为四元数单位。

1. 基本性质

定义四元数为

\begin{matrix} (1) & \hat{q} = q_{w} + q_{i} i + q_{j} j + q_{k} k = (q_{i}, q_{j}, q_{k}, q_{w}) = ({\vec{q}}_{v}, q_{w}) \end{matrix}

$q_w,q_i,q_j,q_k$ $\ii,\jj,\kk$ 满足：

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1 \\ i j = - j i = k \\ j k = - k j = i \\ k i = - i k = j \end{matrix} \end{matrix}

加、减、乘法由(1)(2)可推知。注意乘法不可交换。

定义四元数的共轭：

\begin{matrix} (3) & {\hat{q}}^{*} = (- {\vec{q}}_{v}, q_{w}) \end{matrix}

四元数的共轭有关系（不可交换线性算子的必然结果）：

\begin{matrix} (4) & (\hat{p} \hat{q})^{*} = {\hat{q}}^{*} {\hat{p}}^{*} \end{matrix}

模：

\begin{matrix} (5) & | | \hat{q} | | = \sqrt{\hat{q} {\hat{q}}^{*}} = \sqrt{{\hat{q}}^{*} \hat{q}} \end{matrix}

易知模必为正实数。

逆 $\hat q^{-1}\hat q=\hat q\hat q^{-1}=1$ ，利用式(4)可得：

\begin{matrix} (6) & {\hat{q}}^{- 1} = \frac{1}{| | \hat{q} | |^{2}} \hat{q} = \frac{1}{{\hat{q}}^{*} \hat{q}} \hat{q} \end{matrix}

$\i$ 纯 $\hat q_v$ 的关系：

\begin{matrix} | | {\hat{q}}_{v} | | = 1 \\ \Rightarrow {\hat{q}}_{v} {\hat{q}}_{v}^{*} = - {\hat{q}}_{v}^{2} = 1 \\ \Rightarrow {\hat{q}}_{v}^{2} = i^{2} = - 1 \end{matrix}

$\ee^{\i \theta}=\cos \theta+\i\sin\theta$ $\cos\theta+\hat q_v\sin \theta$ $\hat q_v$ 为单位纯四元数。

\begin{matrix} (7) & \cos θ + {\hat{q}}_{v} \sin θ = e^{{\hat{q}}_{v} θ} \end{matrix}

于是自然地得到四元数的对数：

\begin{matrix} (8) & \ln \hat{q} = \ln c (\cos θ + {\hat{q}}_{v} \sin θ) = \ln c + {\hat{q}}_{v} θ \end{matrix}

赋范可除性代数只能同构于实数、复数、四元数、八元数。

赋范可除性代数 $||a\otimes b||=||a||\cdot||b||$ $\otimes$ 为该空间对应的乘法。四元数是满足该性质的。

这个性质别看简单，但基本上算是非常核心的一个性质。为什么我要用四元数表示旋转？旋转最本质的特点是什么，就是不改变相对距离，你转个手臂不可能转个60度手变长了。用数学公式说明，就是假如x是单位四元数，当我一个任意向量y通过x进行旋转后，模长是不会发生变化的。因此，赋范可除代数的应用就在这。
(2)

$\vec p$ $\vec a$ $\theta$ ：

\begin{matrix} (9) & {\vec{p}}^{'} = \vec{p} \cos θ + (\vec{a} \times \vec{p}) \sin θ + (\vec{a} \cdot \vec{p}) \vec{a} (1 - \cos θ) \end{matrix}

$\vec p$ $\vec a$ $\vec p_{\pll}=(\vec a\cdot\vec p)\vec a$ $\vec p_{\perp}=\vec p-\vec p_{\pll}$

{\vec{p}}^{'} = {\vec{p}}_{/ /} + {\vec{p}}_{⊥} \cos θ + (\vec{a} \times {\vec{p}}_{⊥}) \sin θ

代入即得。QED

$\phi$ 总应该满足如下三个性质：

满足这三条性质的函数即为旋转函数。 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 不打箭头，是因为它们即可以是矢量，也可以是纯四元数。仿照矢量的点乘和叉乘，定义存四元数的点乘和叉乘。

\begin{matrix} (10) & \begin{matrix} \hat{p} \cdot \hat{q} = p_{i} q_{i} + p_{j} q_{j} + p_{k} q_{k} \\ \hat{p} \times \hat{q} = | \begin{array}{ccc} i & j & k \\ p_{i} & p_{j} & p_{k} \\ q_{i} & q_{j} & q_{k} \end{array} | \end{matrix} \end{matrix}

容易推导，纯四元数之间的乘法：

\begin{matrix} (11) & \hat{p} \hat{q} = - \hat{p} \cdot \hat{q} + \hat{p} \times \hat{q} \end{matrix}

$\phi_{\hat q}(\hat p)=\hat q\hat p\hat q^{-1}$ ，它（可以）是一个纯四元数到纯四元数的映射。

$\hat p$ $\hat p+\hat p^*=0$

\begin{aligned} ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) + ϕ_{\hat{q}} (\hat{p})^{*} & = \hat{q} \hat{p} {\hat{q}}^{- 1} + (\hat{q} \hat{p} {\hat{q}}^{- 1})^{*} \\ = \hat{q} \hat{p} {\hat{q}}^{- 1} + ({\hat{q}}^{- 1})^{*} {\hat{p}}^{*} {\hat{q}}^{*} \\ = \hat{q} \hat{p} {\hat{q}}^{- 1} + \hat{q} {\hat{p}}^{*} {\hat{q}}^{- 1} \\ = \hat{q} (\hat{p} + {\hat{p}}^{*}) {\hat{q}}^{- 1} \\ = 0 \end{aligned}

$\phi_{\hat q}(\hat p)$ 也为纯四元数。QED

$\phi_{\hat q}$ 也满足

\begin{aligned} 1. & | | ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) | | = | | \hat{q} | | \cdot | | \hat{p} | | \cdot | | {\hat{q}}^{- 1} | | = | | \hat{p} | | \\ 2. & ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) ϕ_{\hat{q}} (\hat{r}) = \hat{q} \hat{p} {\hat{q}}^{- 1} \hat{q} \hat{r} {\hat{q}}^{- 1} = \hat{q} \hat{p} \hat{r} {\hat{q}}^{- 1} = ϕ_{\hat{q}} (\hat{p} \hat{r}) \end{aligned}

上1式为长度不变；上2式中即包含了夹角不变和手性不变，因为：

\begin{matrix} ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) ϕ_{\hat{q}} (\hat{r}) = - ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) \cdot ϕ_{\hat{q}} (\hat{r}) + ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) \times ϕ_{\hat{q}} (\hat{r}) \\ ϕ_{\hat{q}} (\hat{p} \hat{r}) = ϕ_{\hat{q}} (- \hat{p} \cdot \hat{r} + \hat{p} \times \hat{r}) = - \hat{p} \cdot \hat{r} + ϕ_{\hat{q}} (\hat{p} \times \hat{r}) \end{matrix}

点乘处的结果为实数，叉乘出的结果为纯四元数，它们对应相等，故：

\begin{matrix} ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) ϕ_{\hat{q}} (\hat{r}) = ϕ_{\hat{q}} (\hat{p} \hat{r}) \Rightarrow {\begin{matrix} ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) \cdot ϕ_{\hat{q}} (\hat{r}) = \hat{p} \cdot \hat{r} \\ ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) \times ϕ_{\hat{q}} (\hat{r}) = ϕ_{\hat{q}} (\hat{p} \times \hat{r}) \end{matrix} \end{matrix}

$\phi_{\hat q}(\hat p)=\hat q\hat p\hat q^{-1}$ 表示对纯四元数的一个旋转。

$\hat q$ $\phi_{\hat q}$ $\phi_{\hat q}=\phi_{\alpha\hat q}$ $\hat q$ 为单位四元数。则有：

\hat{q} = \cos θ + {\hat{q}}_{v} \sin θ

$\hat q_v$ $\phi_{\hat q}$ $\hat p$ 为纯四元数）：

\begin{aligned} ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) = \hat{q} \hat{p} {\hat{q}}^{- 1} \\ = (\cos θ + {\hat{q}}_{v} \sin θ) \hat{p} (\cos θ - {\hat{q}}_{v} \sin θ) \\ = [\cos θ \hat{p} + \sin θ (- {\hat{q}}_{v} \cdot \hat{p} + {\hat{q}}_{v} \times \hat{p})] (\cos θ - {\hat{q}}_{v} \sin θ) \\ = . . . \\ = (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) \hat{p} + 2 \cos θ \sin θ {\hat{q}}_{v} \times \hat{p} + 2 \sin^{2} θ (\hat{p} \cdot {\hat{q}}_{v}) {\hat{q}}_{v} \\ (12) & = \cos 2 θ \hat{p} + \sin 2 θ {\hat{q}}_{v} \times \hat{p} + (1 - \cos 2 θ) (\hat{p} \cdot {\hat{q}}_{v}) {\hat{q}}_{v} \end{aligned}

$\phi_{\hat q}$ $\hat q_v$ $2\theta$ 的函数。

\begin{matrix} (13) & \begin{matrix} {\hat{q}}_{v} \times \hat{p} = (\begin{array}{ccc} 0 & - q_{v k} & q_{v j} \\ q_{v k} & 0 & - q_{v i} \\ - q_{v j} & q_{v i} & 0 \end{array}) (\begin{matrix} p_{i} \\ p_{j} \\ p_{k} \end{matrix}) \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & \begin{matrix} (\hat{p} \cdot {\hat{q}}_{v}) {\hat{q}}_{v} = (\begin{array}{ccc} q_{v i}^{2} & q_{v i} q_{v j} & q_{v i} q_{v k} \\ q_{v i} q_{v j} & q_{v j}^{2} & q_{v j} q_{v k} \\ q_{v i} q_{v k} & q_{v k} q_{v j} & q_{v k}^{2} \end{array}) (\begin{matrix} p_{i} \\ p_{j} \\ p_{k} \end{matrix}) \end{matrix} \end{matrix}

$\hat q=(\cos \theta+\sin \theta\hat q_v)=(x,y,z,w)$ ，整理得：

\begin{aligned} ϕ_{\hat{q}} (\hat{p}) = \hat{q} \hat{p} {\hat{q}}^{- 1} \\ = (\begin{array}{ccc} 1 - 2 y^{2} - 2 z^{2} & 2 x y - 2 z w & 2 x z + 2 y w \\ 2 x y + 2 z w & 1 - 2 x^{2} - 2 z^{2} & 2 y z - 2 x w \\ 2 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^{2} - 2 y^{2} \end{array}) (\begin{array}{c} p_{i} \\ p_{j} \\ p_{k} \end{array}) \\ (15) & = \overset{↠}{R_{\hat{q}}} \hat{p} \end{aligned}

以上就四元数旋转函数对应的旋转矩阵。