朗道力学笔记 I

范围：第一章运动方程

朗道力学笔记 I一、运动方程1. 伽利略相对性原理2.运动方程3.拉格朗日量的形式3.1 自由质点的拉格朗日函数形式3.2 质点系的拉格朗日量3.3 半封闭质点系统的拉格朗日量

一、运动方程

1. 伽利略相对性原理

根据实际，存在空间是均匀且各向同性，时间是均匀的参考系。这样的参考系被称为惯性系。实验证明：与惯性系做相对匀速直线运动的参考系也是惯性系。

引入(两个惯性系间的)伽利略变换：

\begin{array}{r} (1.1) & \vec{r} = {\vec{r}}^{'} + \vec{V} t \\ t = t^{'} \end{array}

伽利略相对性原理：力学运动方程在伽利略变换下具有不变性。

2.运动方程

力学系统最一般的规律是最小作用量原理。最小作用量原理可用分为两层：

$q_i$ $\dot q_i$ 来表征。或者说状态只取决于坐标和速度。进一步，状态可以有一个量（被称为拉格朗日量）表征：
$L (q_{1}, q_{2}, . . .; {\dot{q}}_{1}, {\dot{q}}_{2}, . . .; t)$
$t_1$ $t_2$ 之间可能发生的真实物理过程必须满足：
$\begin{matrix} (1.2) & S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t \end{matrix}$
取极值。

可以推得，相同时间区间内满足最小作用量原理的两个拉格朗日函数之间只能相差一个坐标与时间的函数对时间的全导数：

\begin{matrix} (1.3) & L^{'} = L + \frac{d}{d t} f (q, t) \end{matrix}

$L'$ $S'=S+f(q_2,t_2)-f(q_1,t_1)$ 增加了一个常数，不改变其为极值。

对式(1.2)取变分（参见变分法概览），可以推导得拉格朗日方程：

\begin{matrix} (1.4) & 0 = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} \end{matrix}

广义动量 $\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}=p_i$ $\dot p_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}$

3.拉格朗日量的形式

3.1 自由质点的拉格朗日函数形式

$L(q,\dot q,t)$ $L(\vec r,\dot{ \vec r},t)$ $\vec r$ $L$ $\dot{\vec r}$ $|\dot{\vec r}|$ $\dot{\vec r}^2$ $L$ $t$ 。故有：

L = L ({\vec{v}}^{2})

代入式(1.4):

\begin{aligned} 0 & = 0 - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} \\ \Rightarrow C o n s t . & = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} \end{aligned}

$\frac{\partial L}{\partial \vec v}$ $\vec v$ ${\rm Const.}=\vec v$ 。此即惯性定律。

考虑伽利略变换：

\begin{matrix} \vec{r} \to {\vec{r}}^{'} = \vec{r} + \vec{ϵ} t \\ \vec{v} \to {\vec{v}}^{'} = \vec{v} + \vec{ϵ} \\ \vec{r} \to t^{'} = t \end{matrix}

$\vec\epsilon$ 是一个小量。则变换后的拉格朗日量为：

L^{'} = L ((\vec{v} + \vec{ϵ})^{2}) = L ({\vec{v}}^{2} + 2 \vec{v} \cdot \vec{ϵ}) = L ({\vec{v}}^{2}) + \frac{d L ({\vec{v}}^{2})}{d v^{2}} \cdot 2 \vec{v} \cdot \vec{ϵ}

由伽利略相对性原理，变换前后力学关系式是等价的，也就是说：变换后的拉格朗日量也是真实发生的，也要使得作用量取极值：

S^{'} = \int_{t_{1}^{'}}^{t_{2}^{'}} L^{'} d t^{'} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (L ({\vec{v}}^{2}) + \frac{d L ({\vec{v}}^{2})}{d v^{2}} \cdot 2 \vec{v} \cdot \vec{ϵ}) d t

$\frac{\dd L(\vec v^2)}{\dd v^2}\cdot 2\vec v \cdot \vec \epsilon$ $\frac{\dd}{\dd t}f(\vec r,t)$ $\frac{\dd}{\dd t}f(\vec r,t)$ $g(\vec r ,t)\vec v$ $\frac{\dd L(\vec v^2)}{\dd v^2}$ $\frac{1}{2} m$ 。故有：

L = \frac{1}{2} m v^{2}

$m$ 被称为质量。

3.2 质点系的拉格朗日量

有质点间相互作用的质点系的拉格朗日量可以被写作：

\begin{matrix} (1.5) & L (\vec{r}, \vec{v}, t) = T (\vec{r}, \vec{v}) - U (\vec{r}) = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} - U (\vec{r}) \end{matrix}

（这点并非普适的，在相对论里更可能错误。不知道是否有证明或者说明）

将拉格朗日量的形式代入拉格朗日方程(1.4)：

\begin{aligned} 0 = \frac{\partial (\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} - U (\vec{r}))}{\partial {\vec{r}}_{i}} - & \frac{d}{d t} \frac{\partial (\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} - U (\vec{r}))}{\partial {\vec{v}}_{i}} \\ \Rightarrow - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}_{i}} = & m_{i} \frac{d {\vec{v}}_{i}}{d t} \end{aligned}

力 $\vec F_i=-\frac{\partial U}{\partial \vec r_i}$ ，简写上式为

\begin{matrix} (1.6) & {\vec{F}}_{i} = m_{i} \frac{d {\vec{v}}_{i}}{d t} \end{matrix}

是为牛顿方程。

若非笛卡尔坐标系：

x_{i} = f_{i} (q), {\dot{x}}_{i} = \sum_{k} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} {\dot{q}}_{k}

代入拉格朗日量表达式(1.5)

\begin{aligned} L & = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} ({\dot{x}}_{i} + {\dot{y}}_{i} + {\dot{z}}_{i})^{2} - U (\vec{r}) \\ (1.7) & = \sum_{i, k} \frac{1}{2} a_{i, k} (q) {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{k} - U (q) \end{aligned}

$a_{i,k}(q)$ 广义力 $F_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}$ $p_i$ 为广义动量）：

\begin{matrix} (1.8) & {\dot{p}}_{i} = F_{i} \end{matrix}

3.3 半封闭质点系统的拉格朗日量

$q_b(t)$ 已知）。整体的拉格朗日量：

\begin{aligned} L_{t o t} & = T_{a} (q_{a}, {\dot{q}}_{a}) + T_{b} (q_{b}, {\dot{q}}_{b}) - U (q_{a}, q_{b}) \\ = T_{a} (q_{a}, {\dot{q}}_{a}) + T_{b} (t) - U (q_{a}, q_{b} (t)) \end{aligned}

等效于半封闭系统A有个拉格朗日量

L_{A} = T_{a} (q_{a}, {\dot{q}}_{a}) - U (q_{a}, q_{b} (t))

$T_b(t)$ $\frac{\dd}{\dd t}f(\vec r,t)$ 形式，不会产生影响。